Semester 4 · Tugas Kuliah

Gradien [Analisis Vektor]

Operator Del

Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan dengan (nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial, yaitu:

Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.

Misalkan φ(x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (x, y, z) dalam ruang R³ , maka gradien φ atau grad φ atau φ didefinisikan oleh :

“Ingat bahwa gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor”

Selanjutnya, sifat-sifat gradien.

Sifat-sifat gradien

Misalkan φ(x, y, z) dan ψ(x, y, z)  adalah fungsi-fungsi skalar yang diferensiabel pada setiap titik (x, y, z) dan c adalah bilangan real, maka berlaku:

i. (φ + ψ) = φ + ψ

ii. ∇ (cφ) = c (φ)

iii. ∇ (φψ) = φ∇ ψ + ψ∇ φ

Pembuktian sifat 1:

i. (φ + ψ) = φ + ψ

(φ + ψ) = φ + ψ   (Terbukti)

Pembuktian sifat 2 :

ii. ∇ (cφ) = c (φ)

∇ (cφ) = c (φ)  (Terbukti)

Turunan Berarah

Rumus gradien dikembangkan untuk mendefinisikan turunan berarah, yaitu

Misalkan φ diferensiabel di (x, y, z). Maka  φ memiliki turunan berarah di (x, y, z) pada arah vektor satuan , yang diberikan oleh :

Bagaimana mencari harga maksimum dari turunan berarah? Pertama, kita lihat definisi perkalian titik vektor. Dari definisi perkalian titik vektor, diperoleh

θ adalah sudut antara φ dan u

Karena u vektor satuan, maka |u| = 1, sehingga

Nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°, yaitu jika u searah dengan φ. Sehingga diperoleh :

Jadi, harga maksimum dari turunan berarah sama dengan besar gradien.

Harga maksimum dari  adalah

Advertisements

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s